C'est un fait. Mon
plaisir n'a rien à voir avec cette affaire.
Très-sommairement :
D'une part, cette propriété des ensembles de nombres est un cas particulier de cette autre :
Soit un ensemble où sont définies une addition (notée
+) et une multiplication (notée
.) distributive par rapport à l'addition.
Étant donnée une égalité définie dans cet ensemble, on obtient encore une égalité en multipliant chaque membre par un même nombre.
Formellement :
Si
a,
b,
c sont des nombres et si
a = b, alors
a.c = b.c.
D'autre part, on définit les éléments inversibles d'un tel ensemble à partir de l'élément neutre
e de la multiplication (s'il existe) en disant que l'élément
a est inversible s'il existe un élément
a' tel que
a.a'=e.
S'agissant d'ensembles de nombres, on sait que l'élément neutre de l'addition est
0 et que celui de la multiplication est
1 et on note généralement l'inverse d'un élément
x (
lorsqu'il existe)
x[SUP]-1[/SUP] ou
1/x.
(En clair
a+0=a et
a.1=a pour tout nombre
a et, si
x est inversible,
x*x[SUP]-1[/SUP]=1.
Dans l'ensemble des entiers,
2 n'est pas inversible car il n'existe pas d'entier
x tel que
2.x=1.
Dans l'ensemble des décimaux,
2 est inversible car il existe un décimal
x tel que
2.x=1 (
x=0,5).
Dans l'ensemble des décimaux,
3 n'est pas inversible car il n'existe pas de décimal
x tel que
3.x=1.
Dans l'ensemble des rationnels,
3 est inversible car il existe un rationnel
x tel que
3.x=1 (
x=1/3).)
Sur cette base,
x étant supposé inversible, on voit que
si
a.x=b,
alors
(a.x).x[SUP]-1[/SUP]=b.x[SUP]-1[/SUP]
a.(x.x[SUP]-1[/SUP])=b.x[SUP]-1[/SUP]
a.1=b.x[SUP]-1[/SUP]
a=b.x[SUP]-1[/SUP]
qu'on a accoutumé de noter
a=b/x.
La
division n'est en réalité rien d'autre qu'une
multiplication déguisée.
Le quotient de
b par
x est le produit de
b et de l'inverse de
x.
Venons-en au fait :
0 est inversible s'il existe un nombre
x tel que
0.x=1.
Apparemment, personne n'a encore réussi à exhiber un tel nombre
x dans les ensembles usuels de nombres.
Force est donc d'admettre que zéro n'est pas un élément inversible dans les ensembles numériques usuels de l'informatique (nombres entiers, naturels ou relatifs, nombres décimaux, binaires, hexadécimaux, etc., voire nombres rationnels) ou, même, moins usuels (nombres réels, nombres complexes, quaternions, ...).
Par conséquent, quelque nombre
b qu'on envisage,
b/0 n'existe pas.
Et ainsi naquit
#DIV/0!.
Et naquirent en même temps une foultitude d'emmerdements, les éléments non-inversibles étant légion dans nos tableurs. (Exemple : On pourrait attendre de cette procédure
. Y'a pas de raison que je ne m'y mette pas aussi..
